【压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题（四大类）（解析版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题02函数图像与性质综合题（四大类）

【典例分析】

【类型一：分析函数图像】

【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为　  　．

【答案】9：20

【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，

由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，

所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；

故答案为9：20．

【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，

当0≤x≤1时，如图1，

在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，

则FH＝AF•sinA＝x，

∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x²，图象是开口向上的抛物线，

当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，

则DP＝AD•sinA＝，

∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y随x的增大而增大的线段，

当2＜x≤3时，如图3，

过点E作EG⊥CD于G，

则CE＝CF＝3﹣x，

∴EG＝（3﹣x），

∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）²，图象是开口向下的抛物线，

故选：A．

【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　）

A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8

【答案】B

【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，

∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，

∴AB＝4．

∵×AF•AB＝12，

∴AF＝6，

∴A选项不正确，B选项正确；

由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，

∴BC＝2，

由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，

∴CD＝6，

由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，

∴DE＝4．

∴C选项不正确；

∵图①中各角均为直角，

∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，

∴D选项的结论不正确，

故选：B．

【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（　　）

A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min

【答案】D

【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，

∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），

故选：D．

【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，

在等边△ABC中，∠ACB＝60°，

在Rt△DEF中，∠F＝30°，

∴∠FED＝60°，

∴∠ACB＝∠FED，

∴AC∥EF，

在等边△ABC中，AM⊥BC，

∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，

∴S_△ABC＝BC•AM＝4，

①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，

由题意可得CD＝x，DG＝x

∴S＝CD•DG＝x²；

②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，

由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），

∴S＝S_△ABC﹣S_△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），

∴S＝﹣x²+4x﹣4＝﹣（x﹣4）²+4，

③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，

此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，

由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，

∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，

∴BM＝4﹣x

在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），

∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），

∴S＝（x﹣8）²，

综上，选项A的图像符合题意，

故选：A．

【类型二：判断函数图像】

【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：由题意当0≤x≤4时，

y＝×AD×AB＝×3×4＝6，

当4＜x＜7时，

y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．

故选：D．

【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S₁，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S₂，若S＝S₁﹣S₂，则S随t变化的函数图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，

当1≤t≤2时，S＝3，

当2＜＜t≤3时，S＝t+1，

故选：A．

【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax²+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b²﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：∵二次函数y＝ax²+bx+c的部分函数图象开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数y＝ax²+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，

∴二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，b²﹣4ac＞0，

∴一次函数y＝ax+b²﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，

由二次函数y＝ax²+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，

∴4a+2b+c＞0，

∴y＝的图象位于第一，三象限，

据此可知，符合题意的是B，

故选：B．

【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，

∴b＞0；

∵A、B的抛物线都是开口向下，

∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，

故A、B都是错误的．

∵C、D的抛物线都是开口向上，

∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0

由a＞0，c＜0，排除C．

故选：D．

【类型三：反比例函数综合】

【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k₁＞0）和y＝（k₂＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k₁+k₂＝（　　）

A．36 B．18 C．12 D．9

【答案】B

【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AE＝BE＝CE＝DE，

设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），

∵BD∥y轴，

∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），

∵A，B都在反比例函数y＝（k₁＞0）的图象上，

∴k₁＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），

∵m≠0，

∴m＝3﹣a，

∴B（3，6﹣a），

∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k₁＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k₂＞0）的图象上，

∴k₁＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k₂＝3a，

∴k₁+k₂＝18﹣3a+3a＝18；

故选：B

【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　　．

【答案】8

【解答】

解：连接OA、OB，

∵AC⊥x轴，

∴AC∥y轴，

∴S_△AOB＝S_△APB，

∵S_△APB＝2，

∴S_△AOB＝2，

由反比例函数系数k的几何意义可得：

S_△AOC＝6，S_△BOC＝，

∴6﹣＝2，

解得：k＝8，

故答案为8．

【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P₁，P₂，P₃，P₄分别作x轴的垂线，垂足分别为A₁，A₂，A₃，A₄，再过P₁，P₂，P₃，P₄分别作y轴，P₁A₁，P₂A₂，P₃A₃的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃，S₄，OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝A₃A₄，则S₁与S₄的数量关系为 　  　．

【答案】S₁＝4S₄

【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝A₃A₄，

∴S₁＝k，S₂＝k，S₃＝k，S₄＝k，

∴S₁＝4S₄．

故答案为：S₁＝4S₄．

【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是 　　．

【答案】4

【解答】解：设C（m，），

∵四边形ABCD是正方形，

∴点E为AC的中点，

∴E（，），

∵点E在反比例函数y＝上，

∴，

∴m＝1，

作CH⊥y轴于H，

∴CH＝1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠OBA＝∠HCB，

∵∠AOB＝∠BHC，

∴△AOB≌△BHC（AAS），

∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，

∴C（1，4），

∴k＝4，

故答案为：4．

【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝　　．

【答案】3

【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，

∴BC＝BE＝，

∴OC＝＝＝1，

∵∠ABC＝90°，

∴∠OBC+∠EBD＝90°，

∵∠OBC+∠OCB＝90°，

∴∠OCB＝∠EBD，

在△OBC和△DEB中，

，

∴△OBC≌△DEB（AAS），

∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，

∴OD＝3，

∴E（3，2），

∵点F是ED的中点，

∴F（3，1），

∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝3×1＝3，

故答案为3．

【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接OA、OP．当S_△OAD＜S_△OPE时，x的取值范围是 　   　．

【答案】1＜x＜4

【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，

∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝﹣4．

∴y＝．

∵点A（﹣2，2），

∴AD＝OD＝2．

∴．

设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．

∴＝＝2．

同理：S_△OCG＝2．

从图中可以看出当点P在线段BC上时，S_△OPE＞S_△OBF，

即当点P在线段BC上时，满足S_△OAD＜S_△OPE．

∵OM＝ON＝5，

∴N（0，﹣5），M（5，0）．

设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：

，

解得：．

∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．

∴，

解得：，．

∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．

∴x的取值范围为1＜x＜4．

【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　   　．

【答案】（，1）

【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，

∵∠AOB＝30°，

∴OE＝AE＝，

将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），

∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，

∴k＝1×＝，

∴y＝，

∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，

∴∠DOM＝60°，

∴∠MOF＝30°，

∴OF＝MF，

设MF＝n，则OF＝n，

∴M（n，n），

∵点M在函数y＝的图象上，

∴n＝，

∴n＝1（负数舍去），

∴M（，1），

故答案为（，1）．

【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝　  　．

【答案】﹣12

【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，

在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，

∴FN＝MN＝1

又∵FG＝4，

∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，

设OA＝a，则OB＝a+1，

∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），

又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，

∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），

解得，a＝3，

∴k＝﹣4a＝﹣12，

故答案为：﹣12．

【类型4：二次函数综合】

【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴为直线x＝﹣1，即，

∴b＝2a，则b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＞0，故①正确；

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，

则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，

∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；

∵x＝﹣1时，y＝ax²+bx+c的最大值是a﹣b+c，

∴a﹣b+c≥ax²+bx+c，

∴a﹣b≥ax²+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；

∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，

∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；

故选：C．

【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax²+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y₁）与（，y₂）是抛物线上的两个点，则y₁＜y₂；④方程ax²+bx+c＝0的两根为x₁＝﹣3，x₂＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax²+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，

∴a＜0．

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣＝﹣1，

∴b＝2a，b＜0．

∵a＜0，b＜0，

∴ab＞0，

∴①的结论正确；

∵抛物线y＝ax²+bx+c经过点（﹣3，0），

∴9a﹣3b+c＝0，

∴9a﹣3×2a+c＝0，

∴3a+c＝0．

∴4a+c＝a＜0，

∴②的结论不正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

∴点（﹣2，y₁）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y₁），

∵a＜0，

∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．

∵＞0＞﹣1，

∴y₁＞y₂．

∴③的结论不正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），

∴抛物线一定经过点（1，0），

∴抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，

∴方程ax²+bx+c＝0的两根为x₁＝﹣3，x₂＝1，

∴④的结论正确；

∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），

∴﹣3k+c＝0，

∴c＝3k．

∵3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴3k＝﹣3a，

∴k＝﹣a．

∴函数y＝ax²+（b﹣k）x

＝ax²+（2a+a）x

＝ax²+3ax

＝a﹣a，

∵a＜0，

∴当x＝﹣时，函数y＝ax²+（b﹣k）x有最大值，

∴⑤的结论不正确．

综上，结论正确的有：①④，

故选：A．

【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．②④ C．③④ D．②③

【答案】D

【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①不符合题意．

②由题意可知：＝﹣，

∴b＝a，故②符合题意．

③将（﹣2，0）代入y＝ax²+bx+c，

∴4a﹣2b+c＝0，

∵a＝b，

∴2a+c＝0，故③符合题意．

④由图象可知：二次函数y＝ax²+bx+c的最小值小于0，

令y＝1代入y＝ax²+bx+c，

∴ax²+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．

故选：D．

【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），下列结论错误的是（　　）

A．b²＞﹣8a

B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am²+bm

C．3a﹣2＞0

D．当y＞﹣2时，x₁•x₂＜0

【答案】C

【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

∴b²＞0，﹣8a＜0，

∴b²＞﹣8a．故A正确，不符合题意；

∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，

∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am²+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am²+bm．故B正确，不符合题意；