山东省临沂市临沭县曹庄镇中心中学2022-2023学年上学期第一次月考（10月份）九年级数学试卷

2022-2023学年山东省临沂市临沭县曹庄中学九年级第一学期第一次月考数学试卷（10月份）

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．关于x的一元二次方程（a²﹣1）x²+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足（　　）

A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数

2．用配方法解方程：x²﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣2）²＝2 B．（x+2）²＝2 C．（x﹣2）²＝﹣2 D．（x﹣2）²＝6

3．解方程（5x﹣1）²＝3（5x﹣1）的适当方法是（　　）

A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法

4．已知一元二次方程ax²+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．2

5．关于x的一元二次方程x²+kx﹣1＝0的根的情况（　　）

A．有两个不相等的同号实数根

B．有两个不相等的异号实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

6．等腰三角形的底和腰是方程x²﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（　　）

A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

7．若（2，5）、（4，5）是抛物线y＝ax²+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（　　）

A．x＝﹣ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3

8．把二次函数y＝2（x﹣2）²﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是（　　）

A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（4，﹣2） D．（﹣4，﹣2）

9．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2

10．设A（﹣2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）是抛物线y＝x²﹣2x+c上的三点，y₁，y₂，y₃的大小关系为（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₁＞y₃＞y₂ C．y₃＞y₂＞y₁ D．y₃＞y₁＞y₂

二、填空题（每题3分，共18分）

11．方程（3x﹣1）（2x+1）＝1化为一元二次方程的一般形式是　   　，它的一次项系数是　   　

12．抛物线y＝﹣x²+15开口向 　   　，有最 　   　点，顶点坐标是 　   　．

13．已知一元二次方程x²+px+3＝0的一个根为﹣3，则p＝　   　．

14．抛物线y＝x²﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为　   　，与y轴交点的坐标为　   　．

15．已知关于x的一元二次方程kx²+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　   　．

16．若抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y＝x²﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax²+bx+c的解析式为　   　．

三、用适当的方法解方程（每小题5分，共20分）

17．解方程：4x²﹣48＝0．

18．解方程：x（2x+3）＝4x+6．

19．解方程：x²+6x﹣10＝0．

20．解方程：3x²+5x﹣2＝0．

四、解答题（5题，共52分）

21．某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿，求平均每月增长率．

22．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．若养鸡场面积为200m²，求鸡场靠墙的一边长．

23．已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的解析式，并求出其顶点坐标和对称轴．

24．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y＝ax²的解析式．

25．已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n＝4，．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．关于x的一元二次方程（a²﹣1）x²+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足（　　）

A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数

【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

解：由题意得：

a²﹣1≠0，

解得a≠±1．

故选：C．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax²+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

2．用配方法解方程：x²﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣2）²＝2 B．（x+2）²＝2 C．（x﹣2）²＝﹣2 D．（x﹣2）²＝6

【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．

解：把方程x²﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x²﹣4x＝﹣2，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x²﹣4x+4＝﹣2+4，

配方得（x﹣2）²＝2．

故选：A．

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．解方程（5x﹣1）²＝3（5x﹣1）的适当方法是（　　）

A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法

【分析】移项后提公因式，即可得出选项．

解：（5x﹣1）²＝3（5x﹣1）

（5x﹣1）²﹣3（5x﹣1）＝0，

（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）＝0，

即用了因式分解法，

故选：D．

【点评】本题考查了对解一元二次方程的解法的应用．

4．已知一元二次方程ax²+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．2

【分析】将c＝﹣a﹣b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．

解：依题意，得c＝﹣a﹣b，

原方程化为ax²+bx﹣a﹣b＝0，

即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）＝0，

∴（x﹣1）（ax+a+b）＝0，

∴x＝1为原方程的一个根，

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．

5．关于x的一元二次方程x²+kx﹣1＝0的根的情况（　　）

A．有两个不相等的同号实数根

B．有两个不相等的异号实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

【分析】先计算出Δ＝k²+4，则Δ＞0，根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；又根据根与系数的关系得到两根之积等于﹣1，则方程有两个异号实数根．

解：Δ＝k²+4，

∵k²≥0，

∴Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

又∵两根之积等于﹣1，

∴方程有两个异号实数根，

所以原方程有两个不相等的异号实数根．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．

6．等腰三角形的底和腰是方程x²﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（　　）

A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．

解：∵方程x²﹣6x+8＝0的解是x＝2或4，

（1）当2为腰，4为底时，2+2＝4不能构成三角形；

（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10．

故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．

7．若（2，5）、（4，5）是抛物线y＝ax²+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（　　）

A．x＝﹣ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3

【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．

解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，

根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，

所以，对称轴x＝＝3；

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．

8．把二次函数y＝2（x﹣2）²﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是（　　）

A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（4，﹣2） D．（﹣4，﹣2）

【分析】根据图象的平移规律，可得答案．

解：把二次函数y＝2（x﹣2）²﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为y＝2（x﹣2﹣2）²﹣5+3，即y＝2（x﹣4）²﹣2，其顶点坐标为（4，﹣2）．

故选：C．

【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

9．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2

【分析】a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围．

解：∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴x＝﹣＝1，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小．

故选：C．

【点评】抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断．

10．设A（﹣2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）是抛物线y＝x²﹣2x+c上的三点，y₁，y₂，y₃的大小关系为（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₁＞y₃＞y₂ C．y₃＞y₂＞y₁ D．y₃＞y₁＞y₂

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．

解：∵y＝x²﹣2x+c，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，

∴y₁＞y₃＞y₂．

故选：B．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．

二、填空题（每题3分，共18分）

11．方程（3x﹣1）（2x+1）＝1化为一元二次方程的一般形式是　6x²+x﹣2＝0　，它的一次项系数是　1　

【分析】通过去括号，移项，合并同类项，就可以把方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出一次项系数．

解：去括号：6x²+3x﹣2x﹣1＝1

移项：6x²+3x﹣2x﹣1﹣1＝0，

合并同类项：6x²+x﹣2＝0．

故一般形式是：6x²+x﹣2＝0，

一次项系数是：1．

【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，把方程化成一元二次方程的一般形式，确定一次项系数．

12．抛物线y＝﹣x²+15开口向 　下　，有最 　高　点，顶点坐标是 　（0，15）　．

【分析】根据二次函数的性质逐一填写即可．

解：∵a＝﹣1＜0，

∴开口向下，有最高点，顶点坐标是（0，15），

故答案为：下，高，（0，15）．

【点评】本题考查二次函数图像的特征和性质，解题的关键是了解二次函数的性质，难度不大．

13．已知一元二次方程x²+px+3＝0的一个根为﹣3，则p＝　4　．

【分析】已知一元二次方程x²+px+3＝0的一个根为﹣3，因而把x＝﹣3代入方程即可求得p的值．

解：把x＝﹣3代入方程可得：（﹣3）²﹣3p+3＝0，

解得p＝4

故填：4．

【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．

14．抛物线y＝x²﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为　（3，0），（﹣1，0）　，与y轴交点的坐标为　（0，﹣3）　．

【分析】令y＝0，可求抛物线与x轴的交点坐标；令x＝0，可求抛物线与y轴的交点坐标．

解：当y＝0时，x²﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，即与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）；

当x＝0时，y＝﹣3，即与y轴交点的坐标为（0，﹣3）．

【点评】主要考查了二次函数图象与（x轴）y轴的交点坐标特点：（x轴）y轴上的点的（纵坐标）横坐标为0．求此类问题可令函数的（y＝0）x＝0，求出（x值）y值即是与y轴的交点（横坐标）纵坐标．

15．已知关于x的一元二次方程kx²+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0．　．

【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且Δ＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围．

解：根据题意得，k≠0，且Δ＞0，即2²﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，

∴实数k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．

故答案为k＞﹣1且k≠0．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．

16．若抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y＝x²﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax²+bx+c的解析式为　y＝x²+4x+3　．

【分析】本可直接利用关于y轴对称的点的坐标特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变解答．

解：∵抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y＝x²﹣4x+3的图象关于y轴对称，

∴函数y＝ax²+bx+c的解析式为：y＝（﹣x）²﹣4（﹣x）+3＝x²+4x+3．

故答案为：y＝x²+4x+3．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，明确关于y轴对称的函数顶点纵坐标相同，横坐标互为相反数，难度一般．

三、用适当的方法解方程（每小题5分，共20分）

17．解方程：4x²﹣48＝0．

【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．

解：4x²﹣48＝0，

则x²＝12，

故x＝±2，

解得：x₁＝2，x₂＝﹣2．

【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．

18．解方程：x（2x+3）＝4x+6．

【分析】先移项；然后提取公因式（2x+3）分解因式，利用因式分解法解方程．

解：x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，

∴（2x+3）（x﹣2）＝0，

∴2x+3＝0或x﹣2＝0，

∴x₁＝﹣，x₂＝2．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法解一元二次方程的思想就是把未知方程化成2个因式相乘等于0的形式，如（x﹣a）（x﹣b）＝0的形式，这样就可直接得出方程的解为x﹣a＝0或x﹣b＝0，即x＝a或x＝b．注意“或”的数学含义，这里x₁和x₂就是“或”的关系，它表两个解中任意一个成立时方程成立，同时成立时，方程也成立．

19．解方程：x²+6x﹣10＝0．

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．

解：∵x²+6x＝10，

∴x²+6x+9＝10+9，即（x+3）²＝19，

则x+3＝±，

∴x＝﹣3±．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

20．解方程：3x²+5x﹣2＝0．

【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出两个一次方程的解即可得到原方程的解．

解：3x²+5x﹣2＝0，

因式分解得：（3x﹣1）（x+2）＝0，

可化为3x﹣1＝0或x+2＝0，

解得：x₁＝，x₂＝﹣2．

【点评】此题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据a•b＝0，得到a＝0或b＝0转化为两个一次方程来求解．

四、解答题（5题，共52分）

21．某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿，求平均每月增长率．

【分析】设平均每月增长率为x，利用该经济开发区3月份工业产值＝该经济开发区1月份工业产值×（1+平均每月增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：设平均每月增长率为x，

依题意得：50（1+x）²＝72，

解得：x₁＝0.2＝20%，x₂＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．

答：平均每月增长率为20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．若养鸡场面积为200m²，求鸡场靠墙的一边长．

【分析】设鸡场靠墙的一边长为xm，则垂直于墙的一边长为m，根据养鸡场面积为200m²，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

解：设鸡场靠墙的一边长为xm，则垂直于墙的一边长为m，

依题意得：x•＝200，

整理得：x²﹣40x+400＝0，

解得：x₁＝x₂＝20．

答：鸡场靠墙的一边长为20m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23．已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的解析式，并求出其顶点坐标和对称轴．

【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组求出a、b、c，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．

解：∵二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴，

解得：，

∴二次函数的解析式为y＝x²﹣4x+3，

y＝x²﹣4x+3

＝x²﹣4x+4﹣1

＝（x﹣2）²﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2．

【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．

24．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y＝ax²的解析式．

【分析】这是抛物线解析式的最简形式，只需要已知抛物线上一个点的坐标，就可以求a，从而确定解析式．

解：由题意可得：OC＝0.6m，AB＝0.2×6＝1.2（m），

得点A的坐标为（0.6，0.6），

代入y＝ax²，

得a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x²．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，得出抛物线上点的坐标是解题关键．

25．已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n＝4，．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．

【分析】（1）联立题中给出的两个关于m、n的关系式可求出A、B的坐标，然后将两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．

（2）先根据抛物线的解析式求出C、P两点的坐标，即可得出CP的长，C的纵坐标的绝对值是三角形ACP中CP边上上的高，据此可求出三角形ACP的面积．

解：（1）依题意得 ，

解得 ，

故 A（1，0），B（3，0）．

所以 ，

解得 ，

故该抛物线的解析式为 y＝﹣x²+4x﹣3．

（2）∵y＝﹣x²+4x﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴y＝﹣x²+4x﹣3．

设P（x，﹣3），

∴x＝4．

∴P（4，﹣3），

∴|PC|＝4．

∴S_△ACP＝PC•OC＝×4×3＝6．

【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．注意数形结合数学思想的应用．