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山东省临沂市临沭县曹庄镇中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共11小题，每小题4分，共40分） 1．至少有两边相等的三角形是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 2．下列图形具有稳定性的是（ ） A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形 3．如图，∠1＝55°，∠3＝108°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．53° C．54° D．55° 4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30° 6．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 7．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△DEF，则还需要补充的条件可以是（ ）
A．AC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．不用补充 8．如图在△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝64，且BD：CD＝9：7，则点D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．32 C．28 D．24 9．如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下： （1）作OB的垂线段NH，使NH＝a，H为垂足． （2）过N作NM∥OB． （3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P． （4）点P即为所求． 其中（3）的依据是（ ）
A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 10．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70° 11．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15° 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 12．已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 ． 13．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有 个．
14．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 是△ABC中AC边上的高．
15．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 度．
16．如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD＝ °．
17．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为 ．
三、解答题（共4题，共36分） 18．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
19．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． 求证：DC⊥BE．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
21．如图（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE． （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE有怎样的关系？并加以证明．
参考答案 一、选择题（共11小题，每小题4分，共40分） 1．至少有两边相等的三角形是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【分析】本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形； 当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形． 解：本题中三角形的分类是： 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形． 2．下列图形具有稳定性的是（ ） A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 解：直角三角形具有稳定性． 故选：D． 【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键． 3．如图，∠1＝55°，∠3＝108°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．53° C．54° D．55° 【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可． 解：∵∠3是△ABC的外角，∠1＝55°，∠3＝108°， ∴∠2＝∠3﹣∠1＝108°﹣55°＝53°． 故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30° 【分析】首先由已知可求得∠OAD的度数，通过三角形全等及四边形的知识求出∠AEB的度数，然后其邻补角就可求出了． 解：∵在△AOD中，∠O＝50°，∠D＝35°， ∴∠OAD＝180°﹣50°﹣35°＝95°， ∵在△AOD与△BOC中，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝∠O， ∴△AOD≌△BOC， 故∠OBC＝∠OAD＝95°， 在四边形OBEA中，∠AEB＝360°﹣∠OBC﹣∠OAD﹣∠O， ＝360°﹣95°﹣95°﹣50°， ＝120°， 又∵∠AEB+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝180°﹣120°＝60°． 故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；解题过程中用到了三角形、四边形的内角和的知识，要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识． 6．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【分析】根据AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∠CAE＝∠BAD，可证明△CAE≌△BAD，得出AD＝AE，∠C＝∠B，根据AAS可证明△DCO≌△EBO，得出CO＝BO，利用SSS证得△ACO≌△ABO，利用HL证得△DAO≌△EAO，由此得出共有全等的三角形的对数为4对． 解：由题意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4对三角形全等． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△DEF，则还需要补充的条件可以是（ ）
A．AC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．不用补充 【分析】因为AB∥ED，所以∠B＝∠D，又因为CD＝BF，则添加AB＝DE后可根据SAS判定△ABC≌△DEF． 解：∵AB∥ED ∵∠B＝∠D ∵CD＝BF，CF＝FC ∴BC＝DF 在△ABC和△DEF中 BC＝DF，∠B＝∠D，AB＝DE ∴△ABC≌△DEF． 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8．如图在△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝64，且BD：CD＝9：7，则点D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．32 C．28 D．24 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可以得到DE＝CD，而根据已知条件可以求出CD的长，也就求出了DE的长． 解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC交BC于D，而∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵BC＝64，且BD：CD＝9：7， ∴CD＝64× ∴DE＝28， 则点D到AB边的距离为28． 故选：C．
【点评】此题主要利用角平分线的性质解题，把求则点D到AB的距离转化成求CD的长． 9．如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下： （1）作OB的垂线段NH，使NH＝a，H为垂足． （2）过N作NM∥OB． （3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P． （4）点P即为所求． 其中（3）的依据是（ ）
A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 【分析】题目要求满足两个条件，其一是到角OA，OB的距离相等，作角平分线，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，可得答案． 解：根据角平分线的性质，（3）的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 故选：C． 【点评】本题主要考查到角的两边距离相等的点在角的平分线上的知识；注意本题容易出现选C的错误． 10．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70° 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答． 解：∵CD⊥BD，∠C＝55°， ∴∠CBD＝90°﹣55°＝35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBD＝2×35°＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 11．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15° 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 解：∵∠BAC＝60°，∠C＝80°， ∴∠B＝40°． 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝ ∴∠ADE＝70°， 又∵OE⊥BC， ∴∠EOD＝20°． 故选：A． 【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 12．已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 大于3小于9 ． 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 解：∵此三角形的两边长分别为3和6， ∴第三边长的取值范围是：6﹣3＝3＜第三边＜6+3＝9． 故答案为：大于3小于9． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 13．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有 6 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数． 解：∵AD⊥BC于D， 而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个， ∴以AD为高的三角形有6个． 故答案为：6 【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 14．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 BE 是△ABC中AC边上的高．
【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 解：∵BE⊥AC， ∴△ABC中AC边上的高是BE． 故答案为：BE 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 15．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 35 度．
【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数． 解：过点E作EF⊥AD， ∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点， ∴CE＝EB＝EF， 又∵∠B＝90°，且AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴∠EAB＝∠EAF． 又∵∠CED＝35°，∠C＝90°， ∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°， ∴∠CDA＝110°， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴DC∥AB， ∴∠CDA+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝70°， ∴∠EAB＝35°． 故答案为：35．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EF⊥AD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 16．如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD＝ 95 °．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAD＝∠CAB，根据三角形的外角性质计算即可． 解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB， ∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°， ∴∠EAD＝∠CAB＝55°， ∴∠CFD＝∠FAB+∠B＝10°+55°+30°＝95°， 故答案为：95． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 17．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为 80° ．
【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°，根据折叠的性质得到∠1＝∠BAE＝140°，∠E＝∠3＝15°，∠ACD＝∠E＝15°，可计算出∠EAC，然后根据∠α+∠E＝∠EAC+∠ACD，即可得到∠α＝∠EAC． 解：设∠3＝3x，则∠1＝28x，∠2＝5x， ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴28x+5x+3x＝180°，解得x＝5°， ∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°， ∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°形成的， ∴∠1＝∠BAE＝140°，∠E＝∠3＝15°， ∴∠EAC＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC＝360°﹣140°﹣140°＝80°， 又∵△ADC是△ABC沿着AC边翻折180°形成的， ∴∠ACD＝∠E＝15°， 而∠α+∠E＝∠EAC+∠ACD， ∴∠α＝∠EAC＝80°． 故答案为：80°．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及周角的定义． 三、解答题（共4题，共36分） 18．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A＝60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＝30°．同理，∠ACF＝30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC＝120°． 解：∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣54°＝60°． 又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝180°﹣∠BAC﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°． 同理，∠ACF＝30°， ∴∠BHC＝∠BEC+∠ACF＝90°+30°＝120°． 【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决． 19．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． 求证：DC⊥BE．
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD，再由△ABE≌△ACD可以得出∠B＝∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB＝90°，就可以得出结论． 【解答】证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°． ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE． 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD， ∴∠ACD＝∠ABE＝45°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝11cm．易求AC的长度． 解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD＝BD． ∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm． ∴AC﹣AB＝5cm． 又∵AB+AC＝11cm， ∴AC＝8cm．即AC的长度是8cm． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 21．如图（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE． （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE有怎样的关系？并加以证明． 【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案； ②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）． ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴AD+BE＝DE．
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． |
