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山东省临沂市临沭县石门初级中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共42分） 1．下列图形具有稳定性的是（ ） A． C． 2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 3．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．1 B．2 C．8 D．11 4．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（ ）
A．110° B．80° C．70° D．60° 6．如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90° 9．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C与点P关于OB对称，点D与点P关于OA对称，则△OCD是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 10．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2 12．如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分面积S＝（ ）cm2．
A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 二、填空题（每小题4分，共20分） 15．已知：等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为5cm，则它的周长是 cm． 16．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝ ．
17．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的大小是 度．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 ．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积 ．
三、解答题：（共58分） 20．等腰三角形一腰上的中线，分别将该三角形周长分成30cm和33cm，试求该等腰三角形的底边长． 21．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数． 22．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D．∠ABD＝54°，∠DBC＝18°．求∠A，∠C的度数．
23．已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
24．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE＝OF．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长； （3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系： ．
参考答案 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共42分） 1．下列图形具有稳定性的是（ ） A． C． 【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 解：∵三角形具有稳定性， ∴A选项符合题意而B，C，D选项不合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题时注意：三角形具有稳定性． 2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可． 解：设三个内角分别为2k、3k、4k， 则2k+3k+4k＝180°， 解得k＝20°， 所以，最大的角为4×20°＝80°， 所以，三角形是锐角三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便． 3．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．1 B．2 C．8 D．11 【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3， 4＜x＜10， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 4．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（ ）
A．110° B．80° C．70° D．60° 【分析】由三角形的外角性质即可得出结果． 解：由三角形的外角性质得： ∠CAD＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外角性质；熟记三角形的外角性质是解决问题的关键． 6．如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可． 解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3， 解得：n＝8， 故选：C． 【点评】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解． 7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确； D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°． 解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝25°， ∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°， ∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°， ∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是角平分线的定义的运用． 9．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C与点P关于OB对称，点D与点P关于OA对称，则△OCD是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解． 解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为D、C， ∴OP＝OD＝OC且∠DOC＝2∠AOB＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 故选：B．
【点评】此题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 10．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等分货物中转站在三条公路围成的三角形内部和外部两种情况作出图形即可得解． 解：如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置， 共有4个位置可选． 故选B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 11．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据全等三角形对应边相等，DE＝AB，而AB＝AE+BE，代入数据计算即可． 解：∵△ABC≌△DEF ∴DE＝AB ∵BE＝4，AE＝1 ∴DE＝AB＝BE+AE＝4+1＝5 故选：A． 【点评】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 12．如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏． 13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分面积S＝（ ）cm2．
A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，计算出阴影部分的面积． 解：∵在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，S△ABC＝12cm2， ∴S△ABE＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，S△BEF＝S△BFC＝ ∴S△BEC＝ ∴S△BEF＝ 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，做题关键是掌握三角形中线的性质． 14．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论． 解：由折叠得：∠A＝∠A'， ∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'， ∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ， ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β， 故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 15．已知：等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为5cm，则它的周长是 12 cm． 【分析】因为已知长度为2cm和5cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 解：①当2cm为底时，其它两边都为5cm， 2cm、5cm、5cm可以构成三角形， 周长为12cm； ②当2cm为腰时， 其它两边为2cm和5cm， ∵2+2＜5， ∴不能构成三角形，故舍去， 故答案为：12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 16．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝ 120° ．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝24°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 17．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的大小是 50 度．
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACE＝∠ECD，利用三角形的外角性质解答即可． 解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACD＝60°+40°＝100°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． 18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 2 ．
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选答案为2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 19．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积 6 ．
【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF＝DH，证明Rt△FDE≌Rt△HDG，Rt△FDA≌Rt△HDA，根据题意列方程，解方程即可． 解：如图，作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△FDE和Rt△HDG中， ∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL）， 同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL）， 设△EDF的面积为x，由题意得， 48﹣x＝36+x， 解得x＝6， 即△EDF的面积为6， 故答案为：6．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 三、解答题：（共58分） 20．等腰三角形一腰上的中线，分别将该三角形周长分成30cm和33cm，试求该等腰三角形的底边长． 【分析】如图，AB＝AC，BD为腰AC上的中线，设AD＝DC＝x，BC＝y，根据三角形周长得到 解：如图，AB＝AC，BD为腰AC上的中线，设AD＝DC＝x，BC＝y， 根据题意得到 解得 当x＝10，y＝23时，等腰三角形的三边为20，20，23； 当x＝11，y＝19时，等腰三角形的三边为22，22，19， 答：这个等腰三角形的底边长是23或19．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 21．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数． 【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 解：根据题意，得 （n﹣2）•180＝1620， 解得：n＝11． 则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 22．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D．∠ABD＝54°，∠DBC＝18°．求∠A，∠C的度数．
【分析】根据题目中的数据和三角形内角和可以求得∠A和∠C的度数，本题得以解决． 解：∵在△ABC中，BD⊥AC，∠ABD＝54°， ∴∠BDA＝90°， ∴∠A＝∠BDA﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°， ∵∠ABD＝54°，∠DBC＝18°， ∴∠ABC＝72°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝72°， 即∠A＝36°，∠C＝72°． 【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23．已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
【分析】由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AB＝AE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD， 即：∠EAD＝∠BAC， 在△EAD和△BAC中 ∴△ABC≌△AED（ASA）， ∴BC＝ED． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 24．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE＝OF．
【分析】欲证明OE＝OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD＝∠CBD，问题就迎刃而解了． 【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE＝OF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝ （2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE＝
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°． ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠CEB＝25°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长； （3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系： AB＝AF+2EB ．
【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证． （2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE． （3）由AC＝AE，CF＝BE，根据AB＝AE+EB，AC＝AF+CF即可证得． 解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB ∴∠C＝∠AED＝90°， 在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE． （2）由（1）得：△ACD≌△AED， ∴DC＝DE， ∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB， ∴ 又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24， ∴ ∴DE＝ （3）∵AB＝AE+EB，AC＝AE， ∴AB＝AC+EB， ∵AC＝AF+CF，CF＝BE ∴AB＝AF+2EB． 故答案为AB＝AF+2EB． 【点评】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． |
