【压轴之满分集训】专题06 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类型）（解析版）

【压轴之满分集训】专题06 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类型）（解析版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题06 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类）

【典例分析】

【类型一：方程（组）+不等式（组）】

【典例1】（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？

【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．

由题意得：，即，

∴96（x+12）＝120x，

∴x＝48．

经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．

∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．

设今年购进B足球的个数为a个，则有：．

∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．

∴3.6a≤120，

∴．

∴最多可购进33个B足球．

【变式1-1】（2023•市南区一模）2020年腊月，某商家根据天气预报预测羽绒服将畅销，就用26400元采购了一批羽绒服，后来羽绒服供不应求．商家又用57600元购进了一批同样的羽绒服，第二次所购数量是第一次所购数量的2倍，第二次购进的单价比第一次购进的单价贵了10元．

（1）该商家第一次购进的羽绒服有多少件？

（2）若两次购进的羽绒服销售时标价都相同，最后剩下50件按6折优惠卖出，若两批羽绒服全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），则每件羽绒服的标价至少为多少元？

【解答】解：（1）设该商家第一次购进的羽绒服有x件，则第二次购进的羽绒服有2x件．

由题意得：，

解得x＝240．

经检验，x＝240是原方程的解．

答：该商家第一次购进的羽绒服有240件；

（2）设每件羽绒服的标价为a元．

由题意得：0.6a×50+（240+240×2﹣50）a﹣（26400+57600）≥（26 400+57 600）×25%，

解得a≥150．

答：每件羽绒服的标价至少为150元．

【变式1-2】（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．

（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？

（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？

【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，

依题意得：﹣＝10，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是方程的解，

1.5x＝1.5×80＝120．

答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；

（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，

依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，

解得：m≤100，

答：最多可以购买100个篮球．

【变式1-3】（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，

依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，

整理，得：x²﹣110x+3000＝0，

解得：x₁＝50，x₂＝60（舍去）．

答：售价应定为50元；

（2）该商品需要打a折销售，

由题意，得，62.5×≤50，

解得：a≤8，

答：该商品至少需打8折销售．

【类型二：方程（组）+不等式（组）——一次函数模型】

【典例2】（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．

【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，

根据题意得：，

解得，

答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；

（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：

设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，

∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，

∴100﹣m≤3m，

解得m≥25，

根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，

∵10＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），

此时100﹣m＝75，

答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．

【变式2-1】（2022•桐梓县模拟）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．

（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？

（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．

①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；

②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．

【解答】解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，

根据题意得：，解得，

答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；

（2）①方案一：y₁＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；

方案二：y₂＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．

②当y₁＝y₂时，1920x+69600＝2160x+54000，

解得x＝65；

当y₁＞y₂时，即1920x+69600＞2160x+54000，

解得：x＜65；

当y₁＜y₂时，即1920x+69600＜2160x+54000，

解得x＞65．

∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；

当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；

当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．

【变式2-2】（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．

（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，

得：，

解得：，

答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；

（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，

根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，

解得：m≤200，

w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，

∵﹣30＜0，

∴w随m的增大而减小，

当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，

答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．

【变式2-3】（2022•天津模拟）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．

（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？

（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为y₁（元），选择公路运输时，所需费用y₂（元），请分别写出y₁（元），y₂（元）与x（千克）之间的关系式；

（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？

【解答】解：（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，

由题意可得：，

解得：，

答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克；

（2）由题意可得：y₁＝0.58x，y₂＝0.28x+600；

（3）当y₁＝y₂时，0.58x＝0.28x+600，

解得x＝2000，

∴当运输2000千克时，两种方式均可，

当y₁＜y₂时，0.58x＜0.28x+600，

解得x＜2000，

∴当运输少于2000千克时，铁路划算，

当y₁＞y₂时，0.58x＝0.28x+600，

解得x＞2000，

∴当运输超过2000千克时，公路划算．

【变式2-4】（2021•铜仁市）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．

（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，

，

解得，

∴每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；

（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），

100m+80（20﹣m）≥1800．

解得：m≥10．

w＝3m+2（20﹣m）

＝m+40．

∵1＞0，

∴w随着m的减少而减少．

∴当m＝10时，w有最小值，w_小＝10+40＝50．

∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．

【变式2-5】（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．

（1）求每千克花生、茶叶的售价；

（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，

根据题意得：50x＝10（40+x），

解得：x＝10，

40+x＝40+10＝50（元），

答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；

（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w元，

由题意得：，

解得：30≤m≤40，

w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，

∵﹣10＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝30时，利润最大，

此时花生销售30千克，茶叶销售60﹣30＝30千克，

w_最大＝﹣10×30+840＝540（元），

∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．

【变式2-6】“桂花糕”是中国特色传统小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜为原料制作而成，历史悠久，种类多样．小李在某糕点生产厂家选中A，B两款不同包装的“桂花糕”，决定从该厂家进货并销售．两款“桂花糕”的进货价和销售价如表：

（1）若小李用2000元购进了A，B两款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”购进了35盒，求B款“桂花糕”购进多少盒？

（2）若小李计划A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的一半，且计划购进两款“桂花糕”共60盒，小李应该如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

【解答】解：（1）设B款“桂花糕”购进x盒，

根据题意得：35×40+30x＝2000，

解得x＝20，

答：B款“桂花糕”购进20盒；

（2）设购进A款“桂花糕”m盒，销售利润为W元，则购进B款“桂花糕”（60﹣m）盒，

∵A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的一半，

∴m≤（60﹣m），

解得m≤20，

根据题意得W＝（56﹣40）m+（45﹣30）（60﹣m）＝m+900，

∵1＞0，

∴W随m的增大而增大，

∴m＝20时，W取最大值，最大值为20+900＝920（元），

此时60﹣m＝60﹣20＝40，

答：购进A款“桂花糕”20盒，购进B款“桂花糕”40盒，获得最大利润，最大利润是920元

【类型三：方程（组）+不等式（组）——二次函数模型】

【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．

（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，

由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，

解得：x₁＝2或x₂＝18，

∵要尽可能减少库存，

∴x₂＝18不合题意，应舍去．

∴T恤的销售单价应提高2元，

答：T恤的销售单价应提高2元；

（2）设利润为M元，由题意可得：

M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），

＝﹣10x²+200x+3000，

＝﹣10（x﹣10）²+4000，

∴当x＝10时，M_最大值 ＝4000元，

∴销售单价：40+10＝50（元），

答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．

【变式3-1】（2023•蜀山区校级一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．

（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？

（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？

【解答】解：（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，

由题意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，

解得x²﹣440x+48300＝0，

解得x＝230或x＝210，

∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；

（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，

由题意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m²+880m＝﹣2（m﹣220）²+96800，

∵﹣2＜0，

∴当m＝220时，W最大，最大为96800，

∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．

【变式3-2】某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；

（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；

①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；

②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，

根据题意得：，

解得，

答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；

（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，

∵两款纪念册每天销售总数不变，

∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；

②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，

根据表格可得：，

解得，

∴y＝﹣2x+124，

当y＝80﹣2m时，x＝22+m，

即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，

设该店每天所获利润是w元，

由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m²+48m+1120＝﹣4（m﹣6）²+1264，

∵﹣4＜0，

∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，

此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），

答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．

【变式3-3】（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）

（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

（3）“二十大”临近结束时，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，

根据题意得：，

解得：．

答：购进A款钥匙扣200件，B款钥匙扣100件．

（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（800﹣m）件B款钥匙扣，

根据题意得：30m+25（800﹣m）≤22000，

解得：m≤400．

设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（800﹣m）＝3m+9600．

∵3＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m＝400时，w取得最大值，最大值＝3×400+9600＝10800，此时800﹣m＝800﹣400＝400．

答：当购进400件A款钥匙扣，400件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是10800元．

（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，

根据题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，

整理得：a²﹣64a+1020＝0，

解得：a₁＝30，a₂＝34．

又∵要尽快减少库存，

∴a＝30．

答：B款钥匙扣的售价应定为30元．

【变式3-4】（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），

把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，

，

解得，，

∴y＝﹣500x+12000；

（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，

，

解得，3≤x≤12，

设利润为w元，根据题意得，

w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x²+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）²+55125，

∵﹣500＜0，

∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，

∵3≤x≤12，且x为正整数

∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）²+55125＝54000，

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；

（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x²+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，

∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，

∵﹣500＜0，

∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，

∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．

又∵x为整数，

∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，

∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，

∵1≤m≤6，

∴2＜m≤6

【类型四：确定取值范围】

【典例4】（2022•新昌县二模）如图，是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x（cm），单层部分的长度为y（cm）．经测量，得到表中数据．

（1）根据表中数据规伸，求出y与x的函数关系式．（不必写出自变量取值范围）

（2）设背带的长度为L（cm），即L＝x+y．

①按小文的身高和习惯，L＝130（cm）时为最佳背带长度．请计算此时双层部分的长度．

②求L的取值范围．

【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题知 ，

解得 ，

∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；

（2）①根据题意知 ，

解得 ，

∴双层部分的长度为22cm；

②由题知，当x＝0时，y＝152，

当y＝0时，x＝76，

∴76≤L≤152．

【变式4-1】（2021•衡阳）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．

（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；

（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．

【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题知，

解得，

∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；

（2）根据题意知，

解得，

∴双层部分的长度为22cm；

（3）由题知，当x＝0时，y＝152，

当y＝0时，x＝76，

∴76≤L≤152．

【变式4-2】（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

（1）填空：m与x的函数关系为 　m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），

将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，

解得k＝﹣2，b＝144，

故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；

（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：

当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x²+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）²+1568，

此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，

当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，

此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），

综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；

（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：

P＝﹣0.5x²+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x²+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，

∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5

∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，

又∵n＜4，

∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，

答：n的取值范围是1.75＜n＜4．

【变式4-3】（2022•黄冈模拟）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且x为整数，且日销量m（千克）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表：

（1）求m与x的函数关系式；

（2）当1≤x≤20时，最大日销售利润是多少？

（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元？

【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），

将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，

解得k＝﹣2，b＝144，

故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；

（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：

当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x²+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）²+1568，

此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，

∴第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；

（3）由（2）得，当1≤x≤20且x为整数时，W＝﹣0.5（x﹣16）²+156，

令W＝1550，得1550＝﹣0.5（x﹣16）²+1568，

解得：x₁＝10，x₂＝22．

∵﹣＜0，对称轴为直线x＝16，10≤x≤20，共11天．

当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，

令W＝1550，得1550＝﹣30x+2160，

解得：x＝，

∵﹣30＜0，

∴20＜x＜，无整数解，即0天．

综上所述，在未来40天中，有11天销售利润不低于1550元．

【变式4-4】（2021•河北）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．

（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．

[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]

【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，

∴OA上的点的横纵坐标相同．

∴A（4，4）．

设OA的解析式为：h＝ks，

∴4k＝4．

∴k＝1．

∴OA的解析式为：h＝s．

∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，

∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．

∵2号机在爬升到A处时水平方向上移动了4km，飞行的距离为4km，

又1号机的飞行速度为3km/min，

∴2号机的爬升速度为：4÷＝3km/min．

（2）设BC的解析式为h＝ms+n，

由题意：B（7，4），

∴，

解得：．

∴BC的解析式为h＝．

令h＝0，则s＝19．

∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．

（3）解法一：∵PQ不超过3km，

∴5﹣h≤3．

∴PQ＝，

解得：2≤s≤13．

∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝（min）．

解法二：当PQ＝3km时，h＝5﹣3＝2（km），

∵h＝s，

∴s＝2．

由2＝得：s＝13，

∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（min）．

【变式4-5】（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　48000　元；当每个公司租出的汽车为 　37　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．

【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；

设每个公司租出的汽车为x辆，

由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，

解得：x＝37或x＝﹣1（舍），

∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；

（2）设两公司的月利润分别为y_甲，y_乙，月利润差为y，

则y_甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，

y_乙＝3500x﹣1850，

当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，

y＝y_甲﹣y_乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）

＝﹣50x²+1800x+1850，

当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；

当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，

y＝y_乙﹣y_甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x

＝50x²﹣1800x﹣1850，

∵对称轴为直线x＝＝18，50＞0，

∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，

∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，

综上：两公司月利润差的最大值为33150元；

（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，

则利润差为y＝﹣50x²+1800x+1850﹣ax＝﹣50x²+（1800﹣a）x+1850，

对称轴为直线x＝，

∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，

∴16.5＜＜17.5，

解得：50＜a＜150

【类型五：拱形问题】

【典例5】（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），

∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）²+9，

把（0，0）代入，可得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）²+9；

（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）²+9＝6，